Teoria de colas y lineas

Introducción

Concepto

El problema planteado es difícil de describir por la presencia de elementos aleatorios en el arribo y la atención de clientes. Para ello se ha desarrollado la Teoría de Cola o de la Línea de Espera que se basa en describir el arribo o la partida (o servicio) por distribuciones de probabilidad apropiadas. Usando teoría de probabilidad se derivan las características operativas del problema, como ser tiempo de espera hasta que el servicio del cliente sea completado, porcentaje de tiempo desocupado por servicio, etc., con tales elementos, el analista hace inferencias de la operación del sistema y puede ajustarlos para asegurar una efectiva utilización desde el punto de vista del cliente y del servidor. La teoría de cola también resulta útil para analizar muchos de los problemas relacionados al diseño del proceso.

A menudo es deseable tomar decisiones respecto de una situación de teoría de cola, basándose en algún tipo de análisis de costos. Por ejemplo, un incremento en el número de servidores en el sistema reduciría el tiempo de espera, pero incrementaría el costo del servicio e inversamente. Si se pudiera expresar el tiempo promedio de espera en valores monetarios, es posible seleccionar el óptimo número de servidores (o la velocidad de servicio) que minimiza la suma de los costos se servicio y el tiempo de espera. El problema de este enfoque radica que en la práctica es muy difícil de estimar el costo por unidad de espera.

 

Proceso Básico de las Colas

El proceso básico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente. Los

 

Una característica de la fuente de entrada es su

Debe especificarse el patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes a través del tiempo. La suposición normal es que se generan de acuerdo al proceso de Poisson. Este caso corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria, pero con cierta taza media fija y sin importar cuantos clientes están ya allí (por lo que el tamaño de la fuente de entrada es ilimitada o limitada). infinito). Una suposición equivalente es que, la distribución de probabilidad del tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas es exponencial. Se hace referencia al tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas como tiempo entre llegadas.
Debe especificarse el patrón estadístico mediante el cual se generan los clientes a través del tiempo. La suposición normal es que se generan de acuerdo al proceso de Poisson. Este caso corresponde a aquel cuyas llegadas al sistema ocurren de manera aleatoria, pero con cierta taza media fija y sin importar cuantos clientes están ya allí (por lo que el tamaño de la fuente de entrada es

Población Finita

Es un grupo limitado de clientes que representa la fuente que usará un servicio y que en ocasiones forma una cola. En esta caso cuando un cliente deja su posición como miembro de la población de usuarios, se reduce en una unidad el tamaño del grupo de usuarios, lo cual reduce la probabilidad que un usuario requiera servicio. Por el contrario, si se brinda mantenimiento a un cliente y éste regresa al grupo de usuarios, aumenta la población y también la probabilidad de que un usuario requiera servicio. (ejemplos: reparación de cosechadoras, las PC de un gabinete, etc.).

Población Infinita

Es aquella población que tiene el tamaño suficiente en comparación con el sistema de servicio, para que los cambios en el tamaño de la población, ocasionados por disminuciones o incremento a la población, no afectan de manera sustancial las probabilidades del sistema. (ejemplos: en un supermercado los clientes que hacen fila; la cola en un banco; en una estación de gasolina, etc.).

2 – Llegadas

Proceso de Llegada

Es la forma en que los clientes de la fuente de entrada llegan a solicitar un servicio. La característica más importante del proceso de llegada es el tiempo entre llegadas, que es la cantidad de tiempo entre dos llegadas sucesivas de clientes a un sistema de colas.

Se supone que el proceso de llegada no es afectado por el número de clientes presentes en el sistema. Existen casos en los que el proceso de llegada puede depender del número de clientes presentes en el sistema, como en el caso de una población pequeña.

Ejemplo: hay cuatro barcos en un astillero, si los cuatro están en reparación, entonces ningún barco se puede descomponer en el futuro cercano. Por otro lado, si los barcos están en el mar, en el futuro cercano hay una probabilidad relativamente alta de que alguno sufra una avería.

Otro caso en el que el proceso de llegada depende del número de clientes presentes en cola, se tiene cuando la rapidez con la que llegan los clientes a la instalación disminuye si está demasiado concurrida. Por e

3 – Cola

colas en los que la cota superior es tan pequeña que se llegan a ella con cierta frecuencia, se suponen como cola finita.

Costos del Sistemas de Colas

jemplo: si un banco tiene mucha gente, cuando llega un cliente se puede ir. Una cola se caracteriza por el número de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas; la suposición de una cola infinita es la estándar en la mayoría de los modelos, incluso las situaciones en las que de hecho existe una cota superior (relativamente grande) sobre el número permitido de clientes. Los sistemas de colas en los que la cota superior es tan pequeña que se llegan a ella con cierta frecuencia, se suponen como cola finita.

Las

Costo de Espera

llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio; estos elementos se unen primero a la cola; si no hay línea de espera se dice que la cola esta vacía.

Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa y esta dado por:

Costo total de espera = C_{w * L}

Donde

Cw = costo de espera por llegada y por unidad de tiempo, y

L

Sistema de Costo Mínimo

= a longitud promedio de la cola.

Aquí hay que tomar en cuenta (ver Figura 2), que para tasas bajas de servicio se experimenta largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye, sin embargo, finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Por lo tanto, se debe encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo.

Figura 2: Costos de los Sistemas de Colas.  

4 – Selección a Partir de la Cola o Línea de Espera

Disciplina de Cola

La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan los clientes para recibir el servicio. Por ejemplo, el primero en entrar es el primero en salir; aleatoria; de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o a algún otro orden. En general la disciplina de los modelos de cola es: primero en entrar, primero en salir. Las reglas de prioridades más comunes para determinar el orden de servicio a los clientes que esperan en la cola son:

PEPS: Primero Entrado, Primero Salido.

UEPS. Ultimo Entrado, Primero Salido.

SEOA: Servicio en Orden Aleatorio.

GD: Disciplina General de Servicio (representa las disciplinas PEPS, UEPS y SEOA).

5 – Instalación de Servicios o Estaciones

El mecanismo de servicio consiste en una o más

El tiempo que transcurre para un cliente desde el inicio del servicio hasta su terminación en una instalación se llama tiempo de servicio (

instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores. Si existe más de una instalación de servicio, puede ser que sirva al cliente a través de una secuencia de ellas (canales en serie de servicio). En una instalación dada, el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio completo. Un modelo de colas debe especificar el arreglo de las instalaciones y el número de servidores (canales paralelos) en cada una. o duración del servicio). Un modelo de sistema de colas determinado debe especificar la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor (y tal vez para los distintos clientes), aunque es común suponer la misma distribución para todos los servidores. El flujo de los elementos que recibirán servicios puede formar una cola única, una cola múltiple o una combinación de ambas y pueden ser brindadas por un servidor o múltiples servidores.

i) Un Servidor - Una Cola

Es el tipo más sencillo de estructura y existen fórmulas directas para resolver el problema con distribución normal de patrones de llegada y de servicio. Cuando las distribuciones no son normales se resuelve con simulaciones (ejemplo: lavadero automático de autos, muelle de descarga de un solo lugar, etc.).
Figura 3: Un Servidor – Una Cola.

 

1 – Fuente de Entrada

clientes que requieren servicios, a través del tiempo, provienen de una fuente de entrada. Estos clientes arriban al sistema de servicios y se unen a una cola. En un determinado tiempo se selecciona un miembro de la cola, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Luego, se brinda el servicio requerido por el cliente en un mecanismo de servicio, después de lo cual el cliente sale del sistema de servicio. (ver Figura 1). Figura 1: Esquema del Proceso de Cola.

ii) Múltiples Servidores (en paralelo) – Varias Colas

El problema con este formato es que las diferencias en el tiempo de servicio para cada cliente ocasionan un flujo o velocidad desigual en las colas. Como resultado de esto, algunos clientes son atendidos antes que otros que llegaron primero y además producen cambios de una cola a otra (por ejemplo: las ventanillas de los bancos y las cajas de pago de los supermercados).

iii) Múltiples Servidores (en paralelo) – Una Cola

Para modificar una estructura de manera que se asegure el servicio por orden de llegada, es necesario formar una sola cola, de la cual, al quedar disponible un servidor se le asigna el siguiente cliente.

El principal problema con esta estructura es que requiere un estricto control de la cola para mantener el orden y dirigir a los clientes hacia los servidores disponibles. (ejemplo: peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando llega el turno).

iv) Múltiples Servidores (en serie) – Una Cola

Un factor crítico del caso de un solo canal con servicio en serie es la cantidad de elementos que se acumulan al frente de cada servicio, lo cual genera colas de espera separada. Un ejemplo es el lavado de un automóvil, donde se realizan varios servicios (limpieza con aspiradora, remojo, lavado, enjuague, secado, estacionamiento) en una secuencia bastante uniforme.

Por la variación inherente de los tiempos de servicio, la situación óptima para maximizar el uso del servicio es permitir que se forme una cola de espera infinita frente a cada servidor. La peor situación es aquella donde no se permiten colas y sólo puede estar un cliente. Este problema es común en muchos sistemas orientados a productos (líneas de montaje), en los sistemas orientados a procesos (talleres de trabajo, procesamiento órdenes por lotes), permite la utilización máxima del servidor al dejar que el inventario de artículos disponibles absorba la variación en tiempo de desempeño.

v) Múltiples Servidores - Fases Múltiples

En este caso se sigue una secuencia de pasos específicos, como en el caso de admisión de pacientes en un hospital (contacto inicial en el mostrador de admisión, llenar formularios, elaborar tarjetas de identificación, obtener la asignación de una habitación, llevar al paciente a la habitación, etc.). Es posible procesar más de un paciente a la vez, ya que generalmente existen varios servidores disponibles para este procedimiento.

6 - Proceso de Salida

Es la forma en que los clientes abandonan un sistema de colas. Para describir el proceso de salida de un sistema de cola, se especifica una distribución de probabilidad. En la mayor parte de los casos suponemos que la distribución de tiempo de servicio es independiente del número de clientes presentes, es decir que el servidor no trabaja más rápido cuando hay más clientes.

Modelos de Teoría de Cola

El modelo 5 y 6, suelen llamarse de servicio cerrado. El servidor atiende a un número constante de máquinas o unidades. Cuando una máquina se rompe, no puede generarse nuevos llamados mientras permanezca en servicio. En el caso del modelo 6 el sistema tiene un total de K máquinas que son atendidas por R operarios.

Notación para Modelos de Cola



(A,B,C,):(D,E,F)

A

: distribución de arribos (M=Poisson – D=Determinista – E=Erlang).

B

: distribución de salidas (M=Poisson – D=Determinista – E=Erlang).

C

: Número de servidores en paralelo. (

D

: Disciplina del servicio.

E

F: Población

  

: Número máximo de clientes permitidos en el sistema (en cola + en servidores).  

Una situación de cola se caracteriza por el flujo de clientes que arriban a una o más estaciones en las que se efectúa el servicio. Al arribo del cliente, éste puede ser atendido inmediatamente o puede tener que esperar hasta que el servicio esté disponible; el tiempo en la cual se atiende a cada cliente puede ser fijo o aleatorio, dependiendo del tipo de servicio. En la vida diaria hay muchos ejemplos que se adaptan a esta situación: autos arribando a una estación de servicio, o a un peaje; personas arribando al cajero automático; máquinas que fallan y que requieren ser reparadas; etc.